Question

过抛物线y²=4x的焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：确定y²=4x的焦点坐标，分类讨论，利用点差法，即可求得结论．
解答：解：∵y²=4x的焦点坐标为F（1，0）
∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0
又设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点M的坐标为（x，y），则有：
而由题意，得

∴…（4分）
∵点M（x，y）在直线PQ上

即得线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（5分）
而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y²=2（x-1）
综上，线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（6分）
点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．