Question

设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和，
(1)若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
(2)若有互不相等的正整数p、q、m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
(3)是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1(n∈N*)恒成立？若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)在等差数列{a_n}中，成等差数列，
∴，
∴；
(2)

；
(3)设（p、q为常数)，则，
，
，
∴，
依题意有，，
对一切正整数n成立，∴，
由①得，p=0或；
若p=0，代入②有q=0，而p=q=0不满足③，∴p≠0；
将代入②，
∴，代入③得，，
将代入，得，解得，
故存在常数及等差数列使其满足题意。