Question

（2012•金华模拟）设{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）若q=2，且S₁-2，S₂，S₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对任意正整数n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比数列．

Answer 1

分析：（1）由题意可得S₂-S₁=S₃-S₂-2，即a₂=a₃-2，将q=2代入可求得a₁=1，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）分公比q=1与公比q≠1，分别计算Sn+12-S_n•S_n+2≠0即可证明，任意正整数n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比数列．

解答：解：（1）由已知得2S₂=S₁-2+S₃，
∴S₂-S₁=S₃-S₂-2，
∴a₂=a₃-2，代入q=2得2a₁=4a₁-2，
∴a₁=1，a_n=2^n-1，…7分
证明：（2）当公比q=1时，S_n=na₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n+2=（n+2）a₁，
Sn+12-S_n•S_n+2=（n²+2n+1）a12-n（n+2）a12=a12＞0，…9分
当公比q≠1时，Sn+12-S_n•S_n+2=

a12(1-qn+1)2

(1-q)2

-

a1(1-qn)

1-q

•

a1(1-qn+2)

1-q

=a12q²＞0，
综上所述，Sn+12-S_n•S_n+2＞0，
∴任意正整数n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比数列…14分．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，考查分析转化与分类讨论思想，属于中档题．