Question

已知向量

a

=(sin(ωx+φ)，2)，

b

=(1，cos(ωx+φ))(ω＞0，0＜φ＜

π

4

)，函数f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)的图象一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且其图象过点A(1，

7

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(sin(ωx+φ)，2)，

b

=(1，cos(ωx+φ))(ω＞0，0＜φ＜

π

4

)，函数f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)，我们根据向量数量积的运算公式，及二倍角公式，结合图象一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且其图象过点A(1，

7

2

)．求出ω，φ，得到函数的解析式．
（2）根据（1）的函数的解析式，根据正弦型函数的单调性，结合x∈[-1，1]，可以得到f（x）的单调区间．

解答：解：（1）f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2
=sin²（wx+y）+4-1-cos²（wx+φ）=3-cos（2wx+2φ）（2分）
依题知：

7

4

=1∴T=4
即

2π

200

=4∴w=

π

4

又过点A(1，

7

2

)∴cos(

π

2

+2φ)=-

1

2

∵φ∈(0，

2

4

)∴2φ=

π

6

（4分）
∴f(x)=3-cos(

π

2

x+

π

6

)（6分）
（2）当x∈[-1，1]时，

π

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]
当

π

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，0]时
即x∈[-1，-

1

3

]f（x）单减（9分）
同样当x∈[-

1

3

，1]时f（x）单增（12分）

点评：本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，正弦型函数的单调性，其中根据已知条件，求出函数的周期，最值，向左平移量，特殊点坐标等，进而求出正弦型函数的解析式是解答本题的关键．