Question

已知动圆P与圆相切，且经过点．
（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）设O为坐标原点，圆D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圆D与曲线C交于关于x轴对称的两点A、B（点A的纵坐标大于0），且，请求出实数t的值；
（3）在（2）的条件下，点D是圆D的圆心，E、F是圆D上的两动点，满足，点T是曲线C上的动点，试求的最小值．

Answer 1

解：（1）设动圆P的圆心坐标为P（x，y），
则由题意知：点N在圆M内，故圆M，P相内切，
∴|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，
所以，动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆；
所以，动点P的轨迹方程为，．
（2）：∴OA⊥OB，由对称性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直线OA的斜率k_OA=1，直线OA的方程为y=x，
由，得A（1，1）；
又点A在圆D：（x-t）²+y²=t²（t＞0）上，
∴（1-t）²+1=t²，解得t=1．
（3）：由知，D是线段EF的中点，
不妨设E（x₁，y₁），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x₁，-y₁）
设T（x₀，y₀），
则=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（2-x₁-x₀，-y₁-y₀）
=（x₁-x₀）（2-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（-y₁-y₀）
=2（x₁-x₀）-（x₁²-x₀²）+（y₀²-y₁²）
=-x₁²+2x₁-y₁²+x₀²+y₀²-2x₀
=-[（x₁-1）²+y₁²]+1+x₀²+y₀²-2x₀
=x₀²-2x₀+（1-）
=-；
由-2≤x₀≤2知，当x₀=时，的最小值为-；
分析：（1）先由点N在圆M内，得圆M，P相内切；有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，可得动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆；即可求出动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）：可得OA⊥OB，再由对称性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直线OA的方程为y=x，与椭圆方程联立可以求得点A的坐标；再利用点A在圆D代入即可求出实数t的值；
（3）先由知，D是线段EF的中点，设出各点坐标，代入整理为一元二次函数，利用一元二次函数在固定区间上的最值求法即可求的最小值．
点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及轨迹方程．第一问中的关键在于分析出圆M，P相内切；有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，进而得到动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆．