解:(1)设动圆P的圆心坐标为P(x,y),
则由题意知:点N在圆M内,故圆M,P相内切,
∴|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=
<4,
所以,动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长为4的椭圆;
所以,动点P的轨迹方程为,
.
(2):
∴OA⊥OB,由对称性知,∠AOD=∠BOD=45°,
所以,直线OA的斜率k
OA=1,直线OA的方程为y=x,
由
,得A(1,1);
又点A在圆D:(x-t)
2+y
2=t
2(t>0)上,
∴(1-t)
2+1=t
2,解得t=1.
(3):由
知,D是线段EF的中点,
不妨设E(x
1,y
1),由(2)知,D(1,0)∴F(2-x
1,-y
1)
设T(x
0,y
0),
则
=(x
1-x
0,y
1-y
0)•(2-x
1-x
0,-y
1-y
0)
=(x
1-x
0)(2-x
1-x
0)+(y
1-y
0)(-y
1-y
0)
=2(x
1-x
0)-(x
12-x
02)+(y
02-y
12)
=-x
12+2x
1-y
12+x
02+y
02-2x
0=-[(x
1-1)
2+y
12]+1+x
02+y
02-2x
0=x
02-2x
0+
(1-
)
=
-
;
由-2≤x
0≤2知,当x
0=
时,
的最小值为-
;
分析:(1)先由点N在圆M内,得圆M,P相内切;有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=
<4,可得动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长为4的椭圆;即可求出动圆的圆心P的轨迹C的方程;
(2):
可得OA⊥OB,再由对称性知,∠AOD=∠BOD=45°,可以求得直线OA的方程为y=x,与椭圆方程联立可以求得点A的坐标;再利用点A在圆D代入即可求出实数t的值;
(3)先由
知,D是线段EF的中点,设出各点坐标,代入
整理为一元二次函数,利用一元二次函数在固定区间上的最值求法即可求
的最小值.
点评:本题主要考查向量在几何中的应用以及轨迹方程.第一问中的关键在于分析出圆M,P相内切;有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=
<4,进而得到动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长为4的椭圆.