Question

已知向量

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），其中（0＜ω＜2）．函数，f(x)=

a

•

b

-

1

2

其图象的一条对称轴为x=

π

6

．
（I）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(

A

2

)=1，b=1，S_△ABC=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用效率低数量积公式求出f（x）；利用三角函数的二倍角公式化简f（x）；利用对称轴对应的函数值是最值；列出方程求出ω，求出f（x）；令整体角在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上，求出x的范围即函数的递增区间．
（II）先求出角A，利用三角形的面积公式列出方程求出c；利用三角形的余弦定理求出a．

解答：解：（I））f（x）=

a

•

b

-

1

2

=cos2ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)
当x=

π

6

时，sin(

ωπ

3

+

π

6

)=±1即

ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

∵0＜ω＜2∴ω=1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以f（x）d的递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（II）f(

A

2

)=sin(A+

π

6

)=1
在△ABC中，0＜A＜π，

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

∴A+

π

6

=

π

2

∴A=

π

3

由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，b=1得c=4
由余弦定理得a²=4²+1²-2×4×1cos60°=13
故a=

13

点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的二倍角公式、求三角函数的单调区间采用整体角处理的方法、考查三角形的面积公式、三角形的正弦，余弦定理．