Question

（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；
（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.

Answer 1

（Ⅰ）解：.                 ………………3分
（Ⅱ）证法一：
证明：由已知，，.
因此，猜想.                         ………………4分
① 当时，，猜想成立；
② 假设时，.
当时，



故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知
，其中.
由于为偶数，所以，
所以 ，其中.
因此，数列即是数列.                                ………………9分
证法二：
因为 ，
，
，
……
，
由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得
     即，.                                    ………………7分
由于，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”.    ………………9分
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可.  ……10分
由（Ⅱ）中结论可知 ，




，
所以，，即成等差数列，
所以是等差数列.                                       ………………13分
证法二：
因为 ，
所以 .
所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.       ………………10分
对于数列及其“衍生数列”，
因为 ，
，
，
……
，
由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，
相加得
     即.
设数列的“衍生数列”为，
因为 ，，
所以 ， 即成等差数列.                                   
同理可证，也成等差数列.
即 是等差数列.
所以 成等差数列.                                     ………………13分

略