Question

5．在△ABC中，∠A=120°，2sin（B-C）=3cosBsinC，求$\frac{AC}{AB}$的值．

Answer 1

分析 将2sin（B-C）=3cosBsinC展开后，转化可得2sin（B+C）=7cosBsinC，利用正弦定理、余弦定理得：$\frac{7{b}^{2}-7{c}^{2}}{5}$=a²=b²+c²-2bccos120°=b²+c²+bc，从而可得答案．

解答 解：∵∠A=120°，2sin（B-C）=3cosBsinC，
∴2sinBcosC-2cosBsinC=3cosBsinC，
∴2sinBcosC+2cosBsinC=7cosBsinC，即2sin（B+C）=7cosBsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinA=7cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=7×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$×c，
即解得：$\frac{7{b}^{2}-7{c}^{2}}{5}$=a²=b²+c²-2bccos120°=b²+c²+bc，…10分
∴整理可得：2×（$\frac{b}{c}$）²-5×$\frac{b}{c}$-12=0，
∴解得：$\frac{b}{c}$=4或-$\frac{3}{2}$（舍去）．
故$\frac{AC}{AB}$的值为4．…12分

点评 本题考查二倍角的余弦及辅助角公式，突出考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．