Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的值；
（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB₁A₁面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosB，进而可求$cosB=\frac{1}{2}$，结合B为三角形内角，即可得解B的值．
（2）由等差数列的性质可得2b=a+c=6，利用余弦定理可求ac=9，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵bcosC=（2a-c）cosB，
∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）
∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）
又A+B+C=π，
∴sinA=2sinAcosB，…（4分）
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
又B为三角形内角 …（5分）
∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由题意得 2b=a+c=6，…（7分）      
 又  $B=\frac{π}{3}$，
∴$cosB=\frac{1}{2}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{{（{a+c}）}^2}-2ac-9}}{2ac}$…（9分）
∴ac=9…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．