Question

3．已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx．（a∈R）
（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）-2ax，h（x）=x²-2bx+$\frac{19}{6}$．当a=$\frac{2}{3}$时，若对于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使g（x₁）≤h（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；
（2）令$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a讨论，①若$a＞\frac{1}{2}$，②若$a≤\frac{1}{2}$，判断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；
（3）由题意可得任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，只要g（x₁）_max≤h（x₂）_max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围．

解答 解：（1）f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+lnx的导数为f′（x）=-x+$\frac{1}{x}$，
f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，-$\frac{1}{2}$），
则f（x）在x=1处的切线方程为$y=-\frac{1}{2}$；
（2）令$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，
则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方
等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.$g'（x）=（2a-1）x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{（2a-1）{x^2}-2ax+1}}{x}=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$①
①若$a＞\frac{1}{2}$，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，${x_2}=\frac{1}{2a-1}$，
当x₂＞x₁=1，即$\frac{1}{2}＜a＜1$时，在（0，1）上有g'（x）＞0，
在（1，x₂）上有g'（x）＜0，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，
并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂≤x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，
有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若$a≤\frac{1}{2}$，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足$g（1）=-a-\frac{1}{2}≤0$$⇒a≥-\frac{1}{2}$，
由此求得a的范围是[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
综合①②可知，当a∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．
（3）当$a=\frac{2}{3}$时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，
在（1，2）上是减函数，所以对任意x₁∈（0，2），都有$g（{x_1}）≤g（1）=-\frac{7}{6}$，
又已知存在x₂∈[1，2]，使g（x₁）≤h（x₂），
即存在x₂∈[1，2]，使${x^2}-2bx+\frac{19}{6}≥-\frac{7}{6}$，即存在x₂∈[1，2]，$2bx≤{x^2}+\frac{13}{3}$，
即存在x₂∈[1，2]，使$2b≤x+\frac{13}{3x}$．
因为$y=x+\frac{13}{3x}∈[\frac{25}{6}，\frac{16}{3}]（x∈[1，2]）$，
所以$2b≤\frac{16}{3}$，解得$b≤\frac{8}{3}$，所以实数b的取值范围是$（-∞，\frac{8}{3}]$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，注意转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．