Question

（2005•普陀区一模）求证：不存在虚数z同时满足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0（k为实数且k≠0）．

Answer 1

分析：由已知中虚数z同时满足：①|z-1|=1；②k•z²+z+1=0，我们设z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），并构造关于a，b的方程组，进而根据方程组无满足条件的解，得到结论．

解答：解：假设存在虚数z=a+bi（a，b∈R，且b≠0）同时满足两个条件，
即

(a-1)2+b2=1 z+ . z =2a=- 1 k z• . z =|z|2=a2+b2= 1 k

⇒

a2+b2-2a=0 a2+b2+2a=0

⇒a=b=0
与假设b≠0矛盾，
∴不存在虚数z同时满足①②两个条件．

点评：本题考查的知识点是复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，其中利用反证法，是证明此类存在性问题最常用的方法．