Question

【题目】已知数列的前项和为，，当时，.数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列的前项和为，求证：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)证明见详解.

【解析】

（1）根据的关系，即可容易求得.

（2）由递推公式，进行下标的缩减，即可求得；

（3）利用等差数列和等比数列的前项和公式，求得，利用导数即可由函数单调性，进行证明.

（1）因为，

故当时，，

故可得；

又因为，，解得.

故数列是首项为，公比为的等比数列，

则.

（2）因为，①

故可得当时，

两边同乘以，

则②

①②可得：，则.

又当时，，故可得，

故.

（3）由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，

故可得；

又因为，故数列是首项为1，公差为的等差数列，

故可得，

又.

令，，

因为单调增函数，且，

故存在，使得，

故当时单调递减，当时单调递增.

又因为，

故存在，使得，

故当时单调递减，当时单调递增.

又因为，

故可得，当时，

故当时，，

即.

故，即证.