Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，即可得到MN∥平面OCD；
（Ⅱ）根据CP∥AB，可知∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），从而可求；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面OCD、OAD的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得二面角A-OD-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD
∵MN?平面MNE
∴MN∥平面OCD
（Ⅱ）解：∵CP∥AB
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，CD⊥MP，
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

2

，
∴AB与MD所成角的大小为

π

3

（Ⅲ）解：分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），O（0，0，2），D（-

2

2

，

2

2

，0），P（0，

2

2

，0），
∴

OP

=（0，

2

2

，-2），

OD

=（-

2

2

，

2

2

，-2），

AO

=（0，0，2），
设平面OCD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
∴

2

2

y-2z=0，-

2

2

x+

2

2

y-2z=0
取z=

2

，解得

n

=（0，4，

2

）
设平面OAD的法向量为

m

=(x′，y′，z′)，则

m

•

AO

=0，

m

•

OD

=0
∴2z′=0，-

2

2

x′+

2

2

y′-2z′=0
取y′=1，则x′=1，∴

m

=(1，1，0)
∴二面角A-OD-C的余弦值为

m • n

| m || n |

=

4

20 × 2

=

10

5

点评：本题考查线面平行，考查线线角，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确利用空间向量求面面角．