Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

3

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求三棱锥B-OCD的体积；
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；
注：若直线a⊥平面α，则直线a与平面α内的所有直线都垂直．

Answer 1

分析：（1）利用三棱锥的换底性V_B-OCD=V_O-BCD，OA为棱锥的高，再求出底面面积，代入公式计算；
（2）作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出

AB

与

MD

，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；

解答：解：（1）∵底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

3

，
∴底面ABCD的面积S=1×1×sin60°=

3

2

；
∵OA⊥底面ABCD，OA=2，
∴棱锥的高为2，
∴V_B-OCD=V_O-BCD=

1

3

×

1

2

×S×OA=

3

6

．
（2）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，

2

2

，0），
∵底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

3

，
∴∠CAP=

π

6

，AP=

3

2

，PD=

1

2

，
∴D（

1

2

，

3

2

，0），M（0，0，1），
∴

AB

=（1，0，0），

MD

=（

1

2

，

3

2

，-1），
∴cos＜

AB

，

MD

＞=

AB • MD

| AB || MD |

=

1 2

1× 1+1

=

2

4

．

点评：本题考查了棱锥的体积计算，考查了用向量法求异面直线所成角的余弦值，解答本题的关键是利用平面几何知识求得D的坐标．