Question

（2012•房山区二模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，且f（-2）=0，则不等式

f(x)

x

＞0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：f（x）是定义在R上的偶函数，说明

f(x)

x

奇函数，若x＞0时，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，可得

f(x)

x

为增函数，若x＜0，

f(x)

x

为增函数，根据f（-2）=f（2）=0，求出不等式的解集；

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴

f(x)

x

为增函数，f（x）为偶函数，

f(x)

x

为奇函数，
∴

f(x)

x

在（-∞，0）上为增函数，
∵f（-2）=f（2）=0，
若x＞0，

f(2)

2

=0，所以x＞2；
若x＜0，

f(-2)

-2

=0，

f(x)

x

在（-∞，0）上为增函数，可得-2＜x＜0，
综上得，不等式

f(x)

x

＞0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）
故选C；

点评：此题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合题，解题的关键是找函数的零点问题，此题是一道基础题；