Question

13．（1）已知x＞-1，求y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（2）已知3x+4y=12，求xy的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一，分离常数法，在结合基本不等式的性质即可得到答案．方法二：判别式法．
（2）构造已知等式关系，直接利用基本不等式的性质即可得到答案．

解答 解：（1）方法一，分离常数法，
∵x＞-1，
∴x+1＞0，
那么：$y=\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}=\frac{{{{（x+1）}^2}+5（x+1）+4}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}+5≥2\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}+5=9$．
当且仅当$x+1=\frac{4}{x+1}$．即x=1时，取等号成立．
∴当x＞-1时，y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值为9．
方法二：判别式法．
解：（1）由y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$
⇒y（x+1）=x²+7x+10
⇒x²+（7-y）x+10-y=0
方程有解：△≥0，即：（7-y）²-4（10-y）≥0
解得：y≥9或y≤1
又∵x＞-1，∴x+1＞0，x²+7x+10＞0
所以y＞0
故当x＞-1时，y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值为9．此时x=1．
（2）方法一：构造基本不等式
∵3x+4y=12．要求xy的最大值，xy必须同号．
∴$xy=\frac{1}{12}（3x）•（4y）≤\frac{1}{12}{（\frac{3x+4y}{2}）^2}=3$．
当且仅当3x=4y=6．即$x=2，y=\frac{3}{2}$时等号成立．
故：xy取最大值为3．此时$x=2，y=\frac{3}{2}$．
方法二：消元法
∵3x+4y=12．那么：y=3-$\frac{3}{4}x$．
则xy=x（3-$\frac{3}{4}x$）=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x$
令u=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x$
由二次函数的性质可得：当x=2时，u取得最大值，即最大值为3．
∵y=3-$\frac{3}{4}x$，
解得：y=$\frac{3}{2}$
故：xy取最大值为3．此时$x=2，y=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式性质的灵活应用．属于基础题．