Question

【题目】在平面直角坐标系中已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若A，B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足，且MA交椭圆E于点P.

（i）求证：为定值；

（ii）设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问：直线MQ是否过定点，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）证明见解析，定值为4 （ii）直线过定点.

【解析】

（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的的关系，可得，进而得到椭圆方程；
（2）（i）设，求得直线MA的方程，代入椭圆方程，解得点P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；
（ii）直线MQ过定点O（0，0）．先求得PB的斜率，再由圆的性质可得MQ⊥PB，求出MQ的斜率，再求直线MQ的方程，即可得到定点．

解：（1）易得且，

解得

所以椭圆E的方程为

（2）设，

①易得直线的方程为：，

代入椭圆得，，

由得，，从而，

所以示，

②直线过定点，理由如下：

依题意，，

由得，，

则的方程为：，即，

所以直线过定点.