Question

（08年龙岩一中模拟理）（14分）

已知函数，．

（1）证明：当时，在上是增函数；

（2）对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间上是减函数；

（3）证明：．

Answer 1

解析：(1)证明：由题设得

又由≥,且t＜得t＜，

即＞0　由此可知，为R上的增函数．           4分

(2)证法一：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得

＜0，即t＞在闭区间[a,b]上成立即可．

因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时, ＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数．     8分

 (3)证法一：设

易得≥．

令则易知

当x＞0时, ＞0;当x＜0, ＜0　故当x=0时，取最小值，所以≥，于是对任意x、t，有≥，即≥．        14分

（2）证法二：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时

＜0，在闭区间[a,b]上成立即可．

令则＜0()当且仅当＜0()．

而上式成立只需

即

成立．取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数．

（3）证法二：设=

≥，当且仅当≥0

只需证明

≤0，即≥1

以下同证法一．

证法三：设=，则

易得当t＞时, ＞0; t＜时, ＜0，故当t=取最小值即≥

以下同证法一．证法四:

设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则≥以下同证法一．