Question

过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，若弦AB中点为M(

4

7

，-

3

7

)，则|AB|=

24

7

．

Answer 1

分析：由椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F（1，0），弦AB中点为M(

4

7

，-

3

7

)，能够导出AB的斜率k=1，故直线AB的方程为x-y-1=0．由此能求出|AB|．

解答：解：∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F（1，0），弦AB中点为M(

4

7

，-

3

7

)，
∴AB的斜率k=

0+ 3 7

1- 4 7

=1，
∴直线AB的方程：y+

3

7

=x-

4

7

，整理，得x-y-1=0．
把x-y-1=0代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，并整理，得7x²-8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

，
∴|AB|=

(1+12)[( 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．
故答案为：

24

7

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查直线方程的求法，考查弦长公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．