Question

3．已知抛物线C：y=ax²（a＞0）的交点为F，直线x=2与x轴相交于点M，与曲线C相交于点N，且$|{MN}|=\frac{4}{5}|{FN}|$
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C与A、B两点，AB的垂直平分线m与C相交于C、D两点，使$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将抛物线转化成标准方程，求的焦点坐标，$|{MN}|=\frac{4}{5}|{FN}|$，根据抛物线的第二定义，即可求得丨MN丨=$\frac{1}{a}$，求得N点坐标，代入抛物线方程即可求得a值，求得抛物线方程；
（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理即弦长公式求得H点坐标、丨AB丨和丨AH丨，同理设出直线CD：y=-$\frac{1}{k}$x+k²+$\frac{3}{2}$，求得Q点坐标、丨CD丨和丨HQ丨²，在Rt△ACD中，丨AQ丨=$\frac{1}{2}$丨CD丨，根据勾股定理丨AH丨²+丨HQ丨²=丨AQ丨²，即可求得k值，求得直线方程．

解答 解：（1）由已知抛物线C：x²=$\frac{1}{a}$y（a＞0）的焦点F（0，$\frac{1}{4a}$），
由$|{MN}|=\frac{4}{5}|{FN}|$，得丨FN丨=$\frac{5}{4}$丨MN丨=丨MN丨+$\frac{1}{4a}$，即丨MN丨=$\frac{1}{a}$，
点N（2，4a），所以$\frac{1}{a}$=4a（a＞0）a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线方程：x²=2y；
（2）设AB与CD相交于H，CD的中点为Q，
由题意可知直线m斜率存在且不为0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线方程l：y=kx+$\frac{1}{2}$，代入抛物线方程x²=2y，整理得：x²-2kx-1=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-1，
H（k，k²+$\frac{1}{2}$），丨AB丨=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（2k）^{2}-4×（-1）]}$=2（2+k²），
丨AH丨=2+k²，
∴l_CD：y=-$\frac{1}{k}$x+k²+$\frac{3}{2}$，与x²=2y联立得：x²+$\frac{2}{k}$x-（2k²+3）=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2}{k}$，x₁•x₂=-（2k²+3），
求得Q（-$\frac{1}{k}$，$\frac{1}{{k}^{2}}$+k²+$\frac{3}{2}$），=（k+$\frac{1}{k}$）²+（$\frac{1}{{k}^{2}}$+1）²，
丨CD丨=$\sqrt{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）[\frac{4}{{k}^{2}}+4（2{k}^{2}+3）]}$=$\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）^{2}（2{k}^{2}+1）}{{k}^{4}}}$，
在Rt△ACD中，丨AQ丨=$\frac{1}{2}$丨CD丨，又丨AH丨²+丨HQ丨²=丨AQ丨²，
（1+k2）²+（k+$\frac{1}{k}$）²+（$\frac{1}{{k}^{2}}$+1）²=$\frac{（1+{k}^{2}）（2{k}^{2}+1）}{{k}^{4}}$，
解得k=±1，
直线l的方程为y=±x+$\frac{1}{2}$

点评 本题考查抛物线的标准方程及其简单性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查综合分析问题解决问题的能力，属于中档题．