Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC=2，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．
（1）求证：PQ⊥平面B₁CQ；
（2）求平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角的大小．

Answer 1

解：（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系． …（1分）
由题意可知C（0，0，0），P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2），…（4分）
则
又因为，∴PQ⊥CQ，PQ⊥B₁Q，…（6分）∴PQ⊥平面B₁CQ …（7分）
（2）由题意可知C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），
设平面A₁C₁Q的一个法向量为
则由，∴平面A₁C₁Q的一个法向量可以是（0，1，2）…（11分）
又由（1）可知是平面B₁CQ的一个法向量．…（12分）
设平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角为α，则，
∴平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角的大小为…（14分）
分析：（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，然后根据，，则PQ⊥CQ，PQ⊥B₁Q，满足线面垂直的判定定理；
（2）先求出平面A₁C₁Q的一个法向量，而是平面B₁CQ的一个法向量，然后利用向量的夹角公式进行求解即可．
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及二面角的度量，同时考查了利用空间向量解立体几何问题，属于中档题．