Question

已知抛物线y²=6x,过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.

Answer 1

解法一：设直线上任意一点坐标为（x,y），弦的两个端点为P₁（x₁,y₁）、P₂(x₂,y₂).

∵P₁、P₂在抛物线上，∴y²₁=6x₁,y²₂=6x₂.

两式相减得(y₁+y₂)(y₁-y₂)=6(x₁-x₂).①

∵y₁+y₂=2,代入①得k=

∴直线的方程为y-1=3(x-4),

即3x-y-11=0.

解法二：设所求方程为y-1=k(x-4).

由方程组得ky²-6y-24k+6=0.

设弦的两端点P₁、P₂的坐标分别是（x₁,y₁）(x₂,y₂)，则y₁+y₂=.

∵P₁P₂的中点为（4，1），∴=2.∴k=3.

∴所求直线方程为y-1=3(x-4),

即3x-y-11=0.