Question

【题目】已知曲线的方程为（， 为常数）.

（1）判断曲线的形状；

（2）设曲线分别与轴， 轴交于点， （， 不同于原点），试判断的面积是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线： 与曲线交于不同的两点， ，且，求的值.

Answer 1

【答案】(1)以点为圆心，以为半径的圆.(2)答案见解析；(3) 或.

【解析】试题分析：（1）将原式子化简配方，得到，可知曲线是圆；（2）因为这个三角形是直角三角形，三角形面积是底乘高，直接求出曲线和坐标轴的交点即可。（3）首先向量坐标化，得到，联立直线和曲线得到二次方程，根据韦达定理得，求出即可。

解析：

（1）将曲线的方程化为，整理得，

可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆.

（2）的面积为定值.

证明如下：在曲线的方程中令，得，得，

在曲线方程中令，得，得，

所以（定值）.

（3）直线与曲线方程联立得，

设， ，则

， ，

，

即，即，解得或，

当时，满足；当时，满足.

故或.