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    函数f(x)=
    1，x为有理数
    π，x为无理数
    ，下列结论不正确的（　　）
    A、此函数为偶函数
    B、此函数是周期函数
    C、此函数既有最大值也有最小值
    D、方程f[f（x）]=1的解为x=1
    分析：根据分段函数的表达式，分别利用函数奇偶性，周期性和函数的单调性的性质进行判断即可．
    解答：解：A．若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（-x）=f（x）=1，
    若x为无理数，则-x也无有理数，∴f（-x）=f（x）=π，∴恒有f（-x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数．∴A正确．
    B．设T为一个正数．当T为无理数时，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；
    当T为有理数时，若x为有理数，易知x+kT（k为整数）还是有理数，有f（x+T）=f（x），
    若x为无理数，易知x+kT（k为整数）还是无理数，仍有f（x+T）=f（x）．综上可知，任意非0有理数都是f（x）的周期．此命题也是对的．
    C．由分段 函数的表达式可知，当x为有理数时，f（x）=1，当x为无理数时，f（x）=π，
    ∴函数的最大值为π，最小值为1，∴C正确．
    D．当x为有理数时，f（x）=1，则f[f（x）]=f（1）=1，此时方程成立．
    当x为无理数时，f（x）=π，则f[f（x）]=f（π）=π，∴D错误．
    故选：D．
    点评：本题主要考查分段函数的应用，利用函数奇偶性和周期性，单调性的定义是解决本题的关键．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
    12
    (1+x2)    ；②f（x）在R上的最小值为0．
    （1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
    （3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    问题1：已知函数f(x)=
    x
    1+x
    ，则f(
    1
    10
    )+f(
    1
    9
    )+    …+f(
    1
    2
    )+f(1)+f(2)+    …+f（9）+f（10）=
    19
    2
    19
    2
    ．
    我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
    1
    2
    )+f(2)    、…、f(
    1
    9
    )+f(9)    、f(
    1
    10
    )+f(10)    可一般表示为f(
    1
    x
    )+f(x)    =
    1
    x
    1+
    1
    x
    +
    x
    1+x
    =
    1
    1+x
    +
    x
    1+x
    =
    1+x
    1+x
    =1    为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
    问题2：已知函数f(x)=
    1
    2x+
    		2
    ，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1，x为有理数
    0，x为无理数
    ，则关于x的不等式x2+[f（x）+f（1-x）]x+f（x）f（1-x）≤0的解集为
    {-1}
    {-1}
    ．

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    科目：高中数学 来源：四川省成都树德中学2012届高考适应考试(一)数学试题文理科 题型：022

    对于函数f(x)，定义：若存在非零常数M，T，使函数f(x)对定义域内的任意x，都满足f(x＋T)－f(x)＝M，则称函数y＝f(x)是准周期函数，非零常数T称为函数y＝f(x)的一个准周期．如函数f(x)＝2x＋sinx是以T＝2π为一个准周期且M＝4π的准周期函数．下列命题：

    ①2π是函数f(x)＝sinx的一个准周期；

    ②f(x)＝x＋(－1)x(x∈z)是以T＝2为一个准周期且M＝2的准周期函数；

    ③函数f(x)＝kx＋b＋Asin(wx＋φ)(k≠0，w＞0)是准周期函数；

    ④如果f(x)是一个一次函数与一个周期函数的和的形式，则f(x)一定是准周期函数；

    ⑤如果f(x＋1)＝－f(x)则函数h(x)＝x＋f(x)是以T＝2为一个准周期且M＝4的准周期函数；其中的真命题是________．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
    1
    2
    (1+x2)    ；②f（x）在R上的最小值为0．
    （1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
    （3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

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