Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤

1

2

(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

分析：（1）有条件得1≤f(1)≤

1

2

(1+12)=1，求出f（1）=1，再由条件求出函数的对称轴，由函数的最小值列出方程求出a、b、c的值，代入解析式化简即可；
（2）由（1）求出g（x）化简后，求出函数的对称轴，再由二次函数的单调性和条件列出不等式，求出k的值；
（3）先假设存在，对f（x）配方后，再由分离常数法把条件转化为：

t≥(-x-2 x -1)max t≤(-x+2 x -1)min

，判断出函y =-x-2

x

-1的单调性，求出最大值和最小值，结合t求出m的最大值．

解答：解：（1）∵x≤f(x)≤

1

2

(1+x2)在R上恒成立，
∴1≤f(1)≤

1

2

(1+12)=1，即f（1）=1
∵f（x-4）=f（2-x），∴函数图象关于直线x=-1对称，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵f（1）=1，∴a+b+c=1
又∵f（x）在R上的最小值为0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由

b=2a a+b+c=1 a-b+c=0

，解得

a=c= 1 4 b= 1 2

，
∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

；
（2）由（1）得，g(x)=f(x)-k2x=

1

4

[x2-2(2k2-1)x+1]，
∴g（x）对称轴方程为x=2k²-1，
∵g（x）在[-1，1]上是单调函数，
∴2k²-1≤-1或2k²-1≥1，
解得k≥1或k≤-1或k=0，
∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0．
（3）假设存在t∈R满足条件，
由（1）知f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2，
∴f（x+t）≤x?（x+t+1）²≤4x且x∈[1，m]，
?

t≥-x-2 x -1 t≤-x+2 x -1

在[1，m]上恒成立?

t≥(-x-2 x -1)max t≤(-x+2 x -1)min

∵y =-x-2

x

-1在[1，m]上递减，
∴(-x-2

x

-1)max=-4，
∵y =-x+2

x

-1在[1，m]上递减，
∴(-x+2

x

-1)min=-m+2

m

-1=-(

m

-1)2
∴-4≤t≤-(

m

-1)2，∴-(

m

-1)2≥-4，(

m

-1)2≤4，
∵m＞1，∴

m

-1≤2，
∴m≤9，∴m的最大值为9．

点评：本题考查了二次函数的性质的综合应用，待定系数法求函数的解析式，以及分离常数法处理恒成立问题，第（3）问出现了两个未知数，注意结合点，考查了转化思想，难度较大．