Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（-1）=0，对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤(

x+1

2

)2．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：a＞0，c＞0；
（3）当x∈（-1，1）时，函数g（x）=f（x）-mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≤(

x+1

2

)2可得 f（1）≤1，由f（x）-x≥0可得 f（1）≥1，故有（1）=1．
（2）f（x）-x≥0恒成立，可得a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，从而得到c≥0．
（3）由题意得，g（x）的对称轴在区间（-1，1）的左边或右边，即 

m-a-c

2a

≤-1，或

m-a-c

2a

≥1，解出m的取值范围．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（-1）=0，∴a+c=b，函数f（x）=ax²+（a+c）x+c．
∵当x∈（0，2）时，f（x）≤(

x+1

2

)2，∴f（1）≤1．
又对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，∴f（1）-1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．
（2）由题意得，f（x）-x=ax²+（a+c-1）x+c≥0恒成立，∴a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，
∴c≥0．
综上，a＞0，c≥0．
（3）∵g（x）=f（x）-mx=ax²+（a+c-m）x+c，当x∈（-1，1）时，g（x）是单调的，
∴

m-a-c

2a

≤-1，或

m-a-c

2a

≥1，∴m≤c-a，或 m≥3a+c，
故m的取值范围为（-∞，c-a]∪[3a+c，+∞）．

点评：本题考查二次函数的性质，解分式不等式，正确使用题中条件是解题的关键．