Question

设二次函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：把等式看成关于a，b的直线方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，根据直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，得一不等式，对式子进行恰当变形后，利用函数的单调性可求得a²+b²的最小值．

解答：解：把等式看成关于a，b的直线方程：（x²-1）a+2xb+x-2=0，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即

a2+b2

≥

|x-2|

(x2-1)2+(2x)2

，
所以a2+b2≥(

x-2

1+x2

)2=

1

(x-2+ 5 x-2 +4)2

≥

1

100

，
因为x-2+

5

x-2

在x∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-

2

25

，b=-

3

50

时取等号，
故a²+b²的最小值为

1

100

．

点评：本题考查二次函数的性质、函数的单调性及不等式知识，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，能力要求较高．