Question

已知函数f（x）=ax+

a-1

x

+1-2a（a≥

1

2

）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（Ⅱ）证明：f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求导后得到f′（1），再求出f（1），然后由点斜式得答案；
（Ⅱ）构造辅助函数g(x)=f(x)-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx(x≥1)，求导后由已知得到导函数大于等于0，再由g（x）的单调性得答案；
（Ⅲ）当a=

1

2

时，由（Ⅱ）可知

1

2

(x+

1

x

)≥lnx在[1，+∞）上恒成立．验证当x=1时该不等式成立，然后利用前n项和为S_n=ln（n+1）的数列的通项公式为ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

，在

1

2

(x+

1

x

)≥lnx中取x=

k+1

k

，放缩后得到ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，再利用累加法即可证得不等式．

解答： （Ⅰ）解：当a=2时，f(x)=2x+

1

x

-3，
f′(x)=2-

1

x2

，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
则函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为：y=x-1；
（Ⅱ）证明：令g(x)=f(x)-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx(x≥1)，则有：g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

(x≥1)，
由于a≥

1

2

，得

1-a

a

≤1，
∴g′（x）≥0，
∴y=g（x）在[1，+∞）上单调递增，且g（1）=0．
∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）证明：当a=

1

2

时，由（Ⅱ）可知

1

2

(x+

1

x

)≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
当x＞1时，

1

2

(x+

1

x

)＞lnx．
由S_n=ln（n+1），得通项公式为ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

，
令x=

k+1

k

⇒ln

k+1

k

＜

1

2

(

k+1

k

-

k

k+1

)=

1

2

[(1+

1

k

)-(1-

1

k+1

)]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
即：ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，由累加法得：ln(n+1)＜

1

2

+(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

2(n+1)

⇒ln(n+1)+

1

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

2(n+1)

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答（Ⅱ）的关键是构造出函数g（x），（Ⅲ）的证明是该题的难点，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是压轴题．