【答案】
分析:(1)根据题意,分析可得,将n 表示n=a
×2
k+a
1×2
k-1+a
2×2
k-2+…+a
k-1×2
1+a
k×2
,实际是将十进制的数转化为二进制的数,易得12=1×2
3+1×2
2+0×2
1+0×2
,由I(n)的意义,可得答案;
(2)将n分为n=127,64≤n≤126,32≤n≤63,…n=1等7种情况,有组合数的性质,分析其中I(n)的取值情况,与二项式定理结合,可转化为等比数列的前7项和,计算可得答案.
解答:解:(1)根据题意,12=1×2
3+1×2
2+0×2
1+0×2
,则I(12)=2;
(2)127=1×2
6+1×2
5+1×2
4+1×2
3+1×2
2+1×2
1+1×2
,
设64≤n≤126,且n为整数;
则n=1×2
6+a
1×2
5+a
2×2
4+a
3×2
3+a
4×2
2+a
5×2
1+a
6×2
,
a
1,a
2,a
3,a
4,a
5,a
6中6个数都为0或1,
其中没有一个为1时,有C
6种情况,即有C
6个I(n)=6;
其中有一个为1时,有C
61种情况,即有C
61个I(n)=5;
其中有2个为1时,有C
62种情况,即有C
62个I(n)=4;
…
2
I(n)=C
62
6+C
61×2
5+C
62×2
4+C
63×2
3+C
64×2
2+C
65×2+1=(2+1)
n=3
6,
同理可得:
=3
5,
…
=3
1,
2
I(1)=1;
则
=1+3+3
2+…+3
6=
=1093;
故答案为:(1)2;(2)1093.
点评:解本题关键在于分析题意,透彻理解I(n)的含义
的运算,注意转化思想,结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算.