Question

记f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)，g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）若关于x的方程：loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e（e是自然对数的底数）时，记h(x)=g(x)-

x

2

(x≥0)，求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当a＞1时，求证：

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出g（x），loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；
（Ⅱ）a=e求出 h(x)=g(x)-

x

2

(x≥0)，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用放缩法，求出

n

k=1

g(a-k)的取值范围，最后推出小于

lna

2(a-1)

即可．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有解．
t'=6x（x-1），当x∈[0，1）时，t'（x）＜0，所以t（x）在[0，1）上单调递减．t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（-1，1），g(x)=f-1(x)=

ax-1

ax+1

(x∈R)，
当a=e时，h(x)=

ex-1

ex+1

-

x

2

(x≥0)，所以h′(x)=

-(ex-1)2

2(ex+1)2

≤0，
所以h（x）在[0，+∞）上单调递减．所以，x≥0时，h（x）_max=h（0）=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）的启示可以设G(x)=g(x)-

lna

2

x，(x≥0)
则G′(x)=g′(x)-

lna

2

=

-(ax-1)2lna

(ax+1)2

≤0，
所以G（x）在[0，+∞）上单调递减，
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，即g(x)＜

lna

2

x
所以

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2

(

1

a

+

1

a2

++

1

an

)=

lna

2

.

1- 1 an

a-1

＜

lna

2(a-1)

．（16分）

点评：本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．