Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；
（2）方程可化为，设1-x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．
解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）
由，可解得-1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（-1，1）
令F（x）=0，则…（*）  
方程变为，即（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，经检验x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0
即函数F（x）的零点为0．
（2）方程可化为
=，
故，设1-x=t∈（0，1]
函数在区间（0，1]上是减函数
当t=1时，此时x=0，y_min=5，所以a^m≥1
①若a＞1，由a^m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a^m≥1可解得m≤0，
故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0
点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．