Question

已知a＞0且a≠1，设p：函数y=a^x在R上单调递增，q：设函数y=

2x-2a，(x≥2a) 2a，(x＜2a)

，函数y≥1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p、q是真命题的a的范围，据复合命题的真假分类讨论转化成p q的真假情况，列出不等式求出a的范围．

解答：解：若p是真命题，则a＞1
若q是真命题，则函数y≥1恒成立，即函数y的最小值大于或等于1，而y_min=2a
只需2a≥1，
∴a≥

1

2

，
∴q为真命题时a≥

1

2

且a≠1，
又∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q一真一假．
若p真q假，则实数a不存在；
若p假q真，
则

1

2

≤a＜1．
故实数a的取值范围为

1

2

≤a＜1．

点评：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系；考查不等式恒成立等价转化成求函数最值．