Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga

1

1-x

（a＞0且a≠1）
由

x+1＞0 1-x＞0

，可解得-1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（-1，1）
令F（x）=0，则2loga(x+1)+loga

1

1-x

=0…（*）  
方程变为loga(x+1)2=loga(1-x)，即（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，经检验x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0
即函数F（x）的零点为0．
（2）方程可化为m=2loga(x+1)+loga

1

1-x

=loga

x2+2x+1

1-x

=loga(1-x+

4

1-x

-4)，
故am=1-x+

4

1-x

-4，设1-x=t∈（0，1]
函数y=t+

4

t

在区间（0，1]上是减函数
当t=1时，此时x=0，y_min=5，所以a^m≥1
①若a＞1，由a^m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a^m≥1可解得m≤0，
故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0