Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，并记T_n为{b_n}的前n项和，
求证：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N*．

Answer 1

解：（1）由，解得a₁=1或a₁=2，
由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n﹣3）=0，
即a_n+1﹣a_n﹣3=0或a_n+1=﹣a_n，
因a_n＞0，故a_n+1=﹣a_n不成立，舍去
因此a_n+1﹣a_n=3，
从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n﹣1
（2）证明：由可解得；
从而
因此
令，
则、
因（3n+3）³﹣（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，
故f（n+1）＞f（n）
特别地，
从而3T_n+1﹣log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0、
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）