Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是以F₁F₂为直径的圆与该双曲线的一个交点，且∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，则这个双曲线的离心率是（　　）

• A、

  3 +2

  2

• B、

  3

  +2
• C、

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设|F₁F₂|=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，利用∠PF₁F₂=60°，求出|PF₁|、|PF₂|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．

解答： 解：设|F₁F₂|=2c，
由于P是以F₁F₂为直径的圆与该双曲线的一个交点
则△F₁F₂P是直角三角形，∠F₁PF₂=90°，
由∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，则∠PF₁F₂=60°，
∴|PF₂|=

3

c，|PF₁|=c，
∴|PF₂|-|PF₁|=

3

c-c=2a，
∴e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故选：C．

点评：本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．