Question

（2012•河南模拟）已知ABCD为圆内接四边形，AB⊥AD，延长BC、AD相交于点E，过三点D、C、E的圆与BD的延长线交于点F．
求证：EC•EB-DB•DF=DE²．

Answer 1

分析：根据内接四边形的性质可得到∠BCD=90°，已知CDEF为圆内接四边形，所以∠BCD=∠DFE，从而即可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△DEF∽△DAB，根据相似三角形的边对应成比例，最后两个比例式相减即可得到结论．

解答：证明：因为ABCD为圆内接四边形，AB⊥AD，根据圆内接四边形对角互补，得∠BCD=90°，
由题意得，CDEF为圆内接四边形，所以∠BCD=∠DFE，
所以∠BAD=∠DFE，
所以△DEF∽△DAB，
∴

DB

DA

=

DE

DF

，∴DB•DF=DA•DE，
又EC•EB=ED•EA，
∴EC•EB-DB•DF=ED•EA-DA•DE=DE•（EA-DA）=DE²．

点评：此题考查了与圆有关的比例线段，主要考查学生对圆内接四边形的性质及相似三角形的判定的综合运用．