Question

正方体ABCD_A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁⊥AE；  
（Ⅱ）求证：AC∥平面B₁DE；
（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；
（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC₁、BB₁的中点，易得AF∥ED，CF∥B₁E，从而可证平面ACF∥面B₁DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B₁DE；
（Ⅲ）三棱锥A-BDE的体积，即为三棱锥E-ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC₁的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．
解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B₁D₁，（1分）
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．（5分）
（2）连接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中点，∴CE平行且等于B₁F，
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E，CF?平面B₁DE，B₁E?平面B₁DE（7分）
∴CF∥平面B₁DE
∵E，F是CC₁、BB₁的中点，∴EF平行且等于BC
又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，
∵AF?平面B₁DE，ED?平面B₁DE（7分）
∴AF∥平面B₁DE
∵AF∩CF=F，
∴平面ACF∥平面B₁DE．（9分）
又∵AC?平面ACF
∴AC∥平面B₁DE；
解：（Ⅲ）三棱锥A-BDE的体积，即为三棱锥E-ABD的体积
∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=
点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．