Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和；
（3）设有m项的数列{b_n}是连续的正整数数列，并且满足：．
问数列{b_n}最多有几项？并求这些项的和．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n，即a_n+1=2a_n．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1≠0，
∴数列{a_n}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知S_n=2^n-1，
∴S₁•+S₂•+S₃•+…+S_n+1•
=（2¹-1）•+（2²-1）•+（2³-1）•+…+（2ⁿ⁺¹-1）•
=2（+2+2²+…+2ⁿ）-（+++…+）
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ
=2•3ⁿ-2ⁿ
（3）由已知得2••…=m-1．
又{b_n}是连续的正整数数列，
∴b_n=b_n-1+1．
∴上式化为=m-1．
又b_m=b₁+（m-1），消b_m得mb₁-3b₁-2m=0．
m==3+，由于m∈N^*，
∴b₁＞2，
∴b₁=3时，m的最大值为9．
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63
分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，即可求得a_n+1=2a_n．，继而可证明数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的概念即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知S_n=2^n-1，将其代入S₁•+S₂•+S₃•+…+S_n+1•，分组求和．利用二项式定理即可求得其结果；
（3）利用对数的性质可得到2••…=m-1，利用{b_n}是连续的正整数数列，且满足上式，可化为=m-1，利用b_m=b₁+（m-1），消b_m即可求得答案．
点评：本题考查二项式定理的应用，考查数列求和，考查数列递推式，突出考查创新思维与抽象逻辑思维的能力，属于难题．