Question

14．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，PC⊥底面ABCD，PC=CD，E为PD的中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求证：PA⊥CE．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，交点为O，则可利用中位线定理得出PB∥OE，于是PB∥平面ACE；
（2）通过证明AD⊥平面PCD得出AD⊥CE，利用三线合一得出CE⊥PD，故而CE⊥平面PAD，于是CE⊥PA．

解答 证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OE．
∵底面ABCD是长方形，
∴O是BD的中点．又E是PD的中点，
∴OE∥PB，又PB?平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（2）∵PC⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PC⊥AD．又AD⊥CD，CD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩CD=C，
∴AD⊥平面PCD，∵CE?平面PCD，
∴AD⊥CE．
∵PC=CD，E为PD的中点，
∴CE⊥PD，
又PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴CE⊥平面PAD，又PA?平面PAD，
∴PA⊥CE．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，属于中档题．