Question

10．已知函数f（x）=a-$\frac{b}{{2}^{x}+1}$，且f（0）=0，f（1）=$\frac{1}{3}$．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0，f（1）=$\frac{1}{3}$列方程组解出a，b；
（2）化简f（-x）和f（x），比较它们的关系．

解答 解：（1）∵f（0）=0，f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{b}{2}=0}\\{a-\frac{b}{3}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）f（x）的定义域为R，
f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数奇偶性的判断，属于基础题．