Question

16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2 sinB，$c=4，C=\frac{π}{3}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，由正弦定理可得a=2b，进而由余弦定理可得a²+b²-2abcosC=5b²-4b²cos$\frac{π}{3}$=16，解可得b的值，进而可得a的值，由三角形面积公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，△ABC中，若sinA=2sinB，则有a=2b，
c²=a²+b²-2abcosC=5b²-4b²cos$\frac{π}{3}$=16，
解可得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则a=2b=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，关键分析a、b的关系．