Question

6．已知函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$．
（1）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）任取1≤x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易得出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）利用函数的单调性，即可求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

解答 解：（1）设1≤x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$-x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}{x}_{1}-1）}{{x}_{2}{x}_{1}}$，
因为1≤x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₂x₁-1＞0，x₂x₁＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）由（1），可得f（x）在[1，4]上的最大值是f（4）=$\frac{17}{4}$，最小值f（1）=2．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．