Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2-cosB）．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c²=（a+b）²-3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2-cosB），
∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC-sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，
∴sinA+sinB=2sinC，
∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）∵C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
∴ab=16，
∵由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
∵a+b=2c，
∴可得：c²=4c²-3×16，解得：c=4．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．