Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e²-e-2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：由于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=-c，
因此，设A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解之得y₀=$\frac{{b}^{2}}{a}$，得|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞$\frac{{b}^{2}}{a}$，
将b²=c²-a²，并化简整理，得2a²+ac-c²＞0
两边都除以a²，整理得e²-e-2＜0，
∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．
故选：B．

点评 本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．