Question

14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=mt}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosa}\\{y=1+sina}\end{array}\right.$（a为参数）．
（Ⅰ）若直线l与圆C的相交弦长不小于$\sqrt{2}$，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若点A的坐标为（2，0），动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线、圆的普通方程，利用直线l与圆C的相交弦长不小于$\sqrt{2}$，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）P（cosα，1+sinα），Q（x，y），则x=$\frac{1}{2}$（cosα+2），y=$\frac{1}{2}$（1+sinα），消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=mt}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y=mx，
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosa}\\{y=1+sina}\end{array}\right.$（a为参数），普通方程为x²+（y-1）²=1．
圆心到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，相交弦长=2$\sqrt{1-\frac{1}{{m}^{2}+1}}$，
∴2$\sqrt{1-\frac{1}{{m}^{2}+1}}$≥$\sqrt{2}$，∴m≤-1或m≥1；
（Ⅱ）设P（cosα，1+sinα），Q（x，y），则x=$\frac{1}{2}$（cosα+2），y=$\frac{1}{2}$（1+sinα），
消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程的转化，考查直线与圆位置关系的运用，考查轨迹方程，属于中档题．