Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足${S_n}={n^2}（{n∈{N^*}}）$，记数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n，则T₂₀₁₇=（　　）

• A． $\frac{4034}{4035}$
• B． $\frac{2017}{4035}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出通项公式；然后利用裂项消项法求解即可．

解答 解：当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时适合上式，∴a_n=2n-1．（n∈N^*）．
数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$可得：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
则T₂₀₁₇=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4035}）$=$\frac{2017}{4035}$．
故选：B．

点评 本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．