已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体.存在实数a.k.对于定义域内的任意x均有f成立.称数对的“伴随数对 =x2是否属于集合M.并说明理由,=sinx∈M.求满足条件的函数f(x)的所有“伴随数对 ,都是函数f(x)的“伴随数对 .当1≤x＜2时.$f(x)=cos$,当x=2时.f(x)=0．求当2014≤x≤2016时.函数y=f(x)的零点� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”
（1）判断f（x）=x²是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x}）$；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．

分析（1）由题意可得（a+x）²=k（a-x）²，化为（1-k）x²+2a（1+k）x+（1-k）a²=0对x∈R成立，
需满足条件$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{2a（1+k）=0}\\{（1-k）{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解方程即可判断；
（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a-x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；
（3）由（1，1）和（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1-x）且f（2+x）=-f（2-x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．

解答解：（1）由f（x）=x²及f（a+x）=kf（a-x），可得
（a+x）²=k（a-x）²，即为（1-k）x²+2a（1+k）x+（1-k）a²=0对x∈R成立，
需满足条件$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{2a（1+k）=0}\\{（1-k）{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{k=1}\end{array}\right.$，故k=1≠0，a存在，
所以f（x）=x²∈M．
（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a-x），
sinacosx+cosasinx=k（sinacosx-cosasinx），
所以（1+k）cosasinx+（1-k）sinacosx=0，
$\sqrt{{k}^{2}+2kcos2a+1}$sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k²+2kcos2a+1=0，
即cos2a=-$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$），由于|k+$\frac{1}{k}$|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），
所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．
其中k=1时，cos2a=-1，a=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z；
k=-1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+$\frac{π}{2}$，1）和（nπ，-1），n∈Z．
（3）因为（1，1）和（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，
所以f（1+x）=f（1-x）且f（2+x）=-f（2-x），于是f（x+4）=f（x），
故函数f（x）是以4为周期的函数．
若0＜x＜1，则1＜2-x＜2，此时f（x）=f（2-x）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
若2＜x＜3，则1＜4-x＜2，此时f（x）=-f（4-x）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
若3＜x＜4，则0＜4-x＜1，此时f（x）=-f（4-x）=cos（$\frac{π}{2}$x），
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），0＜x＜1}\\{cos（\frac{π}{2}x），1＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2＜x＜3}\\{cos（\frac{π}{2}x），3＜x＜4}\\{0，x=0，1，2，3，4}\end{array}\right.$故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），2014＜x＜2015}\\{cos（\frac{π}{2}x），2015＜x＜2016}\\{0，x=2014，2015，2016}\end{array}\right.$
当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016．

点评本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查函数的周期性和函数的解析式的求法，函数的零点的求法，考查运算能力，属于中档题．

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