Question

6．已知数列{a_n}满足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=a²ⁿ-1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用递推关系即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=a²ⁿ-1，
∴当n=1时，a₁=a²-1．
当n≥2时，a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=a^2（n-1）-1，
可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=a²ⁿ-a^2n-2，
∴a_n=n（a²ⁿ-a^2n-2），
当n=1时上式也成立，
∴a_n=n（a²ⁿ-a^2n-2）．

点评 本题考查了数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．