Question

14．已知实数a，b，c满足$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{{b}^{2}=ac}\\{3b≥2a+c}\end{array}\right.$，则$\frac{4a+2b+c}{a+b}$的最大值与最小值之和为（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{13}{2}$
• C． $\frac{31}{2}$
• D． $\frac{51}{2}$

Answer 1

分析 根据c＞0，b²=ac，判断，a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质，转化为以公比q为变量的函数，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵c＞0，b²=ac，
∴a＞0，
∵3b≥2a+c，
∴b＞0，
则a，b，c成等比数列，设公比为q，（q＞0），
则c=aq²，b=aq，
由3b≥2a+c得3aq≥2a+aq²，
即q²-3q+2≤0，
即1≤q≤2，
则$\frac{4a+2b+c}{a+b}$=$\frac{4a+2aq+a{q}^{2}}{a+aq}$=$\frac{{q}^{2}+2q+4}{1+q}$=$\frac{（q+1）^{2}+3}{q+1}$=（q+1）+$\frac{3}{q+1}$
设t=q+1，则2≤t≤3，
则y=t+$\frac{3}{t}$则2≤t≤3为增函数，
∴当t=2时，取得最小值y=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，当t=3时，取得最大值y=3+1=4，
则$\frac{4a+2b+c}{a+b}$的最大值与最小值之和为4+$\frac{7}{2}$=$\frac{15}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据不等式的关系，转化为等比数列，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．