Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAcosC﹣cos（A+C）=sin2B． （Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD=2S△BCD ， 求BD．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵cosAcosC﹣cos（A+C）=sin2B． ∴cosAcosC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=sin2B，可得：sinAsinC=sin2B，
∴由正弦定理可得：b2=ac，
∴a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）如图，∵角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，可得：AD+CD=6，
∵S△BAD=2S△BCD ， 可得：AD=2CD，
∴解得：AD=4，CD=2，
∵由（Ⅰ）可得：b2=ac=36，
∵ = ，可得：AB=2BC，即c=2a，
∴解得：a=3 ，c=6 ，
∴cosA= = ，
∴BD= =2 ．

【解析】（Ⅰ）利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得证．（Ⅱ）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由（Ⅰ）可得：b2=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a，c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．